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胎教故事:怪圈魔术魔术师

  怪圈魔术魔术师拿着一条纸带正表演节目,只见他将纸带两头粘上成一纸圈,然后沿纸带中线剪开,"一分为二"成两个圈,这没有什么稀奇;魔术师又将一条纸带粘成圈,从中剪开,这次却不是两个圈,而是一个圈;又拿纸带粘成圈,从中剪开,这次是一大一小两个圈相套着……

  奥妙在哪里呢?同样是纸圈,看似相同,实际上魔术师粘圈的方法不同。第一次是直接粘上,第二、三次是将纸带一端扭转180°与另一端粘上。剪圈也有不同,前两次是沿纸带正中剪开,第三次是偏离正中如1/3处剪开的。

  第一次的圈很平常,可叫"常圈",第二、三次的圈很奇异,可叫"怪圈"。如果多次扭转180°,并以正中或非正中的不同剪法剪开,可得到许多不同的结果。读者不妨自己试试。

  最早的发现1858年,法国巴黎科学协会举办了一次数学论文比赛,参赛者中德国莱比锡市的数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯,论述他"发现"了一种奇异的曲面:将纸带一端扭转180°与另一端粘在一起。这就是此后以他的名字命名的"莫比乌斯带"。莫比乌斯带是怪圈最早的几何模型。

  怪圈之怪一张纸有两面,即使将一条纸带粘成常圈,也有两面(有内外之别),而怪圈仅仅将纸带扭转180°粘接,原来的"两面"变成"一面"了,这是它的奇异之处。如蚂蚁在怪圈上爬行,它可以不经过边缘、不打洞就能自然而然从一面到另一面(从外到里或从里到外)。类似的发现有"克莱因瓶":瓶内瓶外居然能自然相通、内外无别。一个克莱因瓶可切成两半,得到两个互为镜像的莫比乌斯带。

  1979年,一部名叫《GEB:一条永恒的金带》的书轰动美国,获普利策大奖。作者D·霍夫施塔特从数学、逻辑学、生命遗传、大脑思维、人工智能,甚至音乐、绘画等许多不同领域探讨怪圈问题,使人们发现怪圈有丰富的内蕴,与自然、人类、科学、艺术等有深刻的联系,引起人们对怪圈的极大兴趣。

  《GEB》一书表明,莫比乌斯带、克莱因瓶仅是怪圈的几何模型,怪圈是一种变异的系统结构:系统不同层次的相互渗透、缠绕,如将"内"与"外"、"高"与"低"、"二维"与"三维"、"有限"与"无限"、"部分"与"整体"等等不同层次缠绕在一起。

  怪圈艺术《GEB》中的"E"是指荷兰著名版画家埃舍尔(M·C·Escher),他以怪圈结构为基础创作了许多魔幻般的版画。如《瀑布》、《魔镜》、《巴比仑塔》、《凸与凹》、《有序与无序》、《欧几里得大街》等。《瀑布》水从高处流向低处,却自然而然从低处流到了高处,怪圈将"高"与"低"缠绕在一起了。

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